Question

17．若复数$z=（{{a^2}-3}）-（{a+\sqrt{3}}）i$为纯虚数，则$\frac{{a+{i^{2011}}}}{{1+\sqrt{3}i}}$=-i．

Answer 1

分析 由已知条件列出方程组，求解可得a的值，然后代入$\frac{{a+{i^{2011}}}}{{1+\sqrt{3}i}}$，利用复数代数形式的乘除运算化简可得答案．

解答 解：∵$z=（{{a^2}-3}）-（{a+\sqrt{3}}）i$为纯虚数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-3=0}\\{-（a+\sqrt{3}）≠0}\end{array}\right.$，解得$a=\sqrt{3}$．
则$\frac{{a+{i^{2011}}}}{{1+\sqrt{3}i}}$=$\frac{\sqrt{3}+（{i}^{4}）^{502}{i}^{3}}{1+\sqrt{3}i}=\frac{（\sqrt{3}-i）（1-\sqrt{3}i）}{（1+\sqrt{3}i）（1-\sqrt{3}i）}$=$\frac{-4i}{4}=-i$．
故答案为：-i．

点评 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．