Question

1．求证：（1）$\sqrt{6}$+$\sqrt{7}$＞2$\sqrt{2}$+$\sqrt{5}$；     （2）a²+b²+c²≥ab+ac+bc．

Answer 1

分析 （1）使用分析法证明；（2）利用基本不等式证明．

解答 证明：（1）要证：$\sqrt{6}$+$\sqrt{7}$＞2$\sqrt{2}$+$\sqrt{5}$，
只需证：（$\sqrt{6}$+$\sqrt{7}$）²＞（2$\sqrt{2}+\sqrt{5}$）²，
即证：13+2$\sqrt{42}$＞13+4$\sqrt{10}$，
即证：$\sqrt{42}$＞2$\sqrt{10}$，
只需证：42＞40，
显然上式恒成立，
故$\sqrt{6}$+$\sqrt{7}$＞2$\sqrt{2}$+$\sqrt{5}$．
（2）∵a²+b²≥2ab，b²+c²≥2bc，a²+c²≥2ac，
以上三式相加得：2a²+2b²+2c²≥2ab+2bc+2ac，
∴a²+b²+c²≥ab+ac+bc．

点评 本题考查了不等式的证明，属于基础题．