Question

已知A（2，0），B（5，9），动点D满足条件：

OD

=t

OA

+（1-t）

OB

，t∈R．
（1）求动点D的轨迹的参数方程（以t为参数）；
（2）动点D的轨迹与抛物线y²=9x相交于P，Q两点，求线段PQ中点M的坐标．

Answer 1

考点：轨迹方程,向量加减混合运算及其几何意义

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设点D（x，y），利用

OD

=t

OA

+（1-t）

OB

，可得动点D的轨迹的参数方程（以t为参数）；
（2）直线的参数方程代入y²=9x，求出中点M相应的参数，即可求出线段PQ中点M的坐标．

解答： 解：（1）设点D（x，y），则

OD

=（x，y），

OA

=（2，0），

OB

=（5，4）
由已知得：（x，y）=t（2，0）+（1-t）（5，9）…2分
化简得：（x，y）=（5-3t，9-9t）      …4分
故动点D的轨迹的参数方程为

x=5-3t y=9-9t

（t为参数）．…5分
（2）直线的参数方程为

x=5-3t y=9-9t

（t为参数）．
代入y²=9x，得9t²-15t+4=0          …7分
中点M相应的参数是t=

t1+t2

2

=

5

6

      …9分
故PQ中点M的坐标为（

5

2

，

3

2

）．                   …10分

点评：本题考查向量知识的运用，考查参数方程，考查直线与抛物线的位置关系，正确运用参数方程是关键．