Question

已知tan（α-β）=-

1

3

，cos β=

5

5

，α，β∈（0，π）．
（Ⅰ）求tanα的值；    
（Ⅱ）求

sin2α+sin2α

6cos2α+cos2α

的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,两角和与差的余弦函数

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）根据已知条件求得tanβ的值，最后利用两角和与差的正切函数求得tanα的值．
（Ⅱ）利用二倍角公式对原式整理后，分母分子同时除以cos²α，转化为关于tanα的式子，把（Ⅰ）tanα的值代入即可．

解答： 解：（Ⅰ）由cos β=

5

5

，β∈（0，π），得sinβ=

2 5

5

，即tanβ=2．
∴tanα=tan（α-β+β）=

- 1 3 +2

1+ 2 3

=1．
（Ⅱ）

sin2α+sin2α

6cos2α+cos2α

=

sin2α+2sinαcosα

7cos2α-sin2α

=

tan2α+2tanα

7-tan2α

=

1+2

7-1

=

1

2

．

点评：本题主要考查了两角和与差的正切函数公式，二倍角公式的应用．解题过程中注意对三角函数的正负号进行正确的判断．