Question

已知椭圆C：( )的离心率为，点(1，)在椭圆C上.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若椭圆C的两条切线交于点M(4，)，其中，切点分别是A、B，试利用结论：在椭圆上的点()处的椭圆切线方程是，证明直线AB恒过椭圆的右焦点；

（3）试探究的值是否恒为常数，若是，求出此常数；若不是，请说明理由.

 

Answer 1

（1） ；（2）参考解析；（3）

【解析】

试题分析：（1）由离心率为，点(1，)在椭圆C，根据椭圆方程的等量关系即可求出的值，即得到椭圆方程.

（2）由椭圆切线方程是，又因为切点分别为A，B.所以带入A，B两点的坐标，即可得到两条切线方程，又因为这两条切线过点M，代入点M的坐标，即可得经过A，B的直线方程，根据右焦点的坐标即可得到结论.

（3）由（2）可得直线AB的方程，联立椭圆方程，利用韦达定理，两点的距离公式表达出，通过运算即可得到结论.

（1）设椭圆C的方程为()

①

点(1，)在椭圆C上，②，

由①②得：

椭圆C的方程为， 4分

（2）设切点坐标，，则切线方程分别为，.

又两条切线交于点M(4，)，即，

即点A、B的坐标都适合方程，显然对任意实数，点(1，0)都适合这个方程，

故直线AB恒过椭圆的右焦点. 7分

（3）将直线的方程，代入椭圆方程，得

，即

所以， 10分

不妨设，，

同理

所以==

所以的值恒为常数. 13分

考点：1.椭圆的方程.2.直线与圆的位置关系.3.构造概括的能力.