Question

某工程队共有400人，要建造一段3600米的高速公路，工程队若将400人分成两组，甲组完成1000米的软土地带，乙完成1600迷的硬土地带，两组同时施工，当两组全部完成施工，施工结束后，以最后完成施工的一组所需要的时间作为整个工程的工期，据测算，软硬土地带的工程量需要一名工人分别工作50工时和20工时．
（1）如何安排两组的人数，使甲组比乙组先完成施工？
（2）设甲组人数为x人，全部工程的工期为f（x），求f（x）的表达式，并求出定义域．
（3）如何安排两组的人数，使工程工期最短？

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用

专题：应用题,函数的性质及应用

分析：（1）设甲组人数为x则软土工作组的时间为h（x）=

50×1000

x

，硬土工作组的时间为g（x）=

20×200

400-x

，由

50×1000

x

＞

20×200

400-x

，可得结论；
（2）全部工程所用的时间f（x）=

50000 x ，0＜x≤222 4000 400-x ，222＜x＜400

；
（3）由（2）知f（x）在（0，222]上为减函数，在[222，400）上为增函数，即可得出结论．

解答： 解：（1）设甲组人数为x
则软土工作组的时间为h（x）=

50×1000

x

，硬土工作组的时间为g（x）=

20×200

400-x

，
∴由

50×1000

x

＞

20×200

400-x

，可得x＜222

2

9

，
∴甲组人数小于等于222时，甲组比乙组先完成施工；
（2）全部工程所用的时间f（x）=

50000 x ，0＜x≤222 4000 400-x ，222＜x＜400

；
（3）由（2）知f（x）在（0，222]上为减函数，在[222，400）上为增函数
∴当x=222时，h（x）有最小值
又f（222）=225.2，f（223）=225.9，
∴x=222时即软硬地分别安排222人和178人时，全队工程时间最短．

点评：本题考查函数模型的选择与应用，考查学生利用数学知识解决实际问题，属于中档题．