Question

10．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sin（ωx+φ）-cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π），对于任意x∈R满足f（-x）=f（x），且相邻两条对称轴间的距离为$\frac{π}{2}$．
（Ⅰ）求y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数$y=f（x）+f（{x+\frac{π}{4}}）$的单调减区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，相邻两条对称轴间的距离为$\frac{π}{2}$．根据周期公式，可得ω，f（-x）=f（x），函数f（x）是偶函数，可得φ．即得f（x）的解析式；
（Ⅱ）函数$y=f（x）+f（{x+\frac{π}{4}}）$，将f（x）代入化简，求解函数y，结合三角函数的图象和性质，可得单调减区间．

解答 解：函数f（x）=$\sqrt{3}$sin（ωx+φ）-cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π），
化简可得：f（x）=2sin（ωx+φ$-\frac{π}{6}$）
（Ⅰ）∵f（-x）=f（x），即函数f（x）是偶函数．
∴φ$-\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}+kπ$，k∈Z．
∵0＜φ＜π
∴φ=$\frac{2π}{3}$．
相邻两条对称轴间的距离为$\frac{π}{2}$．即$\frac{1}{2}$T=$\frac{π}{2}$．
∵T=$\frac{2π}{ω}$．
∴ω=2．
故得f（x）=2f（x）=2sin（2x+$\frac{2π}{3}$$-\frac{π}{6}$）=2cos2x．
（Ⅱ）函数$y=f（x）+f（{x+\frac{π}{4}}）$，f（x）=2cos2x．
∴y=2cos2x+2cos2（x+$\frac{π}{4}$）=2cos2x-2sin2x=-2$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）
令$-\frac{π}{2}+2kπ≤$2x-$\frac{π}{4}$$≤\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z．
得：$-\frac{π}{8}+kπ$≤x≤$\frac{3π}{8}+kπ$
∴函数y的单调减区间：[$-\frac{π}{8}+kπ$，$\frac{3π}{8}+kπ$]，k∈Z．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．