Question

2．三棱锥A-BCD中，E是BC的中点，AB=AD，BD⊥DC
（I）求证：AE⊥BD；
（II）若DB=2DC=$\sqrt{2}$AB=2，且二面角A-BD-C为60°，求AD与面BCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （I）取BD的中点F，连EF，AF，推导出FE∥DC．从而BD⊥FE．再求出BD⊥AF，从而BD⊥面AFE，由此能证明BD⊥FE．
（II）由BD⊥AF，得∠AFE即为二面角A-BD-C的平面角，由此能求出AD与面BCD所成角的正弦值．

解答 证明：（I）如图，取BD的中点F，连EF，AF，
∵E为BC中点，F为BD中点，∴FE∥DC．
又BD⊥DC，∴BD⊥FE．
∵AB=AD∴BD⊥AF
又AF∩FE=F，AF，FE?面AFE，
∴BD⊥面AFE，AE?面AFE，
∵AE⊥BD，∴BD⊥FE．
解：（II）由（I）知BD⊥AF，
∴∠AFE即为二面角A-BD-C的平面角   
∴∠AFE=60°∵AB=AD=2，
∴△ABD为等腰直角三角形，故$AF=\frac{1}{2}BD=1$，
又FE=$\frac{1}{2}DC=\frac{1}{2}$，
∴AE²=AF²+FE²-2AF•FE•cos∠AFE=1+$\frac{1}{4}-2×1×\frac{1}{2}×cos60°$=$\frac{3}{4}$，
 即AE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴AE²+FE²=1=AF²，∴AE⊥FE，
又由（1）知BD⊥AE，且BD∩FE=F，
BD?面BDC，FE?面BDC，
∴AE⊥平面BDC，
∴∠ADE就是AD与面BCD所成角，
在Rt△AED中，AE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，AD=2，
∴AD与面BCD所成角的正弦值sin$∠ADE=\frac{AE}{AD}=\frac{\sqrt{6}}{4}$．

点评 本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．