Question

12．在区间[1，5]上任取一个数记为m，在区间[1，4]上任取一个数记为n．
（1）若m，n∈N^*，求方程$\frac{{x}^{2}}{m}$+$\frac{{y}^{2}}{n}$=1表示焦点在x轴上的椭圆的概率；
（2）若m，n∈R，求方程$\frac{{x}^{2}}{m}$+$\frac{{y}^{2}}{n}$=1表示焦点在x轴上的椭圆的概率．

Answer 1

分析 （1）m=1，2，3，4，5，n=1，2，3，4，基本事件总数N=5×4=20，方程$\frac{{x}^{2}}{m}$+$\frac{{y}^{2}}{n}$=1表示焦点在x轴上的椭圆，从而m＞n，由此利用列举法能求出方程$\frac{{x}^{2}}{m}$+$\frac{{y}^{2}}{n}$=1表示焦点在x轴上的椭圆的概率．
（2）D：$\left\{\begin{array}{l}{1≤m≤5}\\{1≤n≤4}\end{array}\right.$，方程$\frac{{x}^{2}}{m}$+$\frac{{y}^{2}}{n}$=1表示焦点在x轴上的椭圆，（m，n）满足d：$\left\{\begin{array}{l}{1≤m≤5}\\{1≤n≤4}\\{m＞n}\end{array}\right.$，由此利用几何概型能求出方程$\frac{{x}^{2}}{m}$+$\frac{{y}^{2}}{n}$=1表示焦点在x轴上的椭圆的概率．

解答 解：（1）∵在区间[1，5]上任取一个数记为m，在区间[1，4]上任取一个数记为n，
m，n∈N^*，∴m=1，2，3，4，5，n=1，2，3，4，
∴基本事件总数N=5×4=20，
∵方程$\frac{{x}^{2}}{m}$+$\frac{{y}^{2}}{n}$=1表示焦点在x轴上的椭圆，
∴m＞n，满足条件的基本事件（m，n）有10个，分别是：
（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），
∴方程$\frac{{x}^{2}}{m}$+$\frac{{y}^{2}}{n}$=1表示焦点在x轴上的椭圆的概率p₁=$\frac{10}{20}$=$\frac{1}{2}$．
（2）∵在区间[1，5]上任取一个数记为m，在区间[1，4]上任取一个数记为n，m，n∈R，
∴D：$\left\{\begin{array}{l}{1≤m≤5}\\{1≤n≤4}\end{array}\right.$，
∵方程$\frac{{x}^{2}}{m}$+$\frac{{y}^{2}}{n}$=1表示焦点在x轴上的椭圆，
∴（m，n）满足d：$\left\{\begin{array}{l}{1≤m≤5}\\{1≤n≤4}\\{m＞n}\end{array}\right.$，
∴方程$\frac{{x}^{2}}{m}$+$\frac{{y}^{2}}{n}$=1表示焦点在x轴上的椭圆的概率：
p₂=$\frac{d的面积}{D的面积}$=$\frac{4×3-\frac{1}{2}×{3}^{2}}{4×3}$=$\frac{5}{8}$．

点评 本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法和几何概型的合理运用．