Question

1．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦点和抛物线y²=4$\sqrt{3}$x的焦点相同，且椭圆过点（-$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）．
（1）求椭圆方程；
（2）过点（3，0）的直线交椭圆于A、B两点，P为椭圆上一点，且满足$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=λ$\overrightarrow{OP}$（λ≠0，O为原点），当|AB|＜$\sqrt{3}$时，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由抛物线方程求出焦点坐标，可得c，由题意定义求得a，再由隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），当AB的斜率为0时，|AB|=4不合题意；当AB的斜率不为0时，设直线AB的方程是：x=my+3．联立直线方程与椭圆方程，化为关于y的一元二次方程，利用判别式大于0求得m范围，再由根与系数的关系求出A，B纵坐标的和与积，代入弦长公式求得|AB|，由|AB|＜$\sqrt{3}$求出m的进一步范围，然后结合向量等式可得P的坐标，把P的坐标代入椭圆方程，得到λ与m的关系式，则答案可求．

解答 解：（1）由抛物线y²=4$\sqrt{3}$x，得F（$\sqrt{3}，0$），∴c=$\sqrt{3}$．
椭圆焦点坐标为（$-\sqrt{3}$，0），（$\sqrt{3}，0$）．
∴2a=$\sqrt{（-2\sqrt{3}）^{2}+\frac{1}{4}}+\sqrt{\frac{1}{4}}=4$，则a=2，
∴b²=a²-c²=1，
则椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
当AB的斜率为0时，|AB|=4不合题意；
当AB的斜率不为0时，设直线AB的方程是：x=my+3．
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+3}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（4+m²）y²+6my+5=0．
△=36m²-20（4+m²）＞0，得m²＞5．
${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{-6m}{{m}^{2}+4}，{y}_{1}{y}_{2}=\frac{5}{{m}^{2}+4}$．
∴|AB|=$\sqrt{1+{m}^{2}}|{y}_{1}-{y}_{2}|=\sqrt{1+{m}^{2}}\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$
=$\sqrt{1+{m}^{2}}•\frac{4\sqrt{{m}^{2}-5}}{{m}^{2}+4}$．
∵|AB|＜$\sqrt{3}$，∴$\frac{16（{m}^{2}+1）（{m}^{2}-5）}{（{m}^{2}+4）^{2}}$＜3．
整理得：13m⁴-88m²-128＜0，解得m²＜8．
∴5＜m²＜8．
又$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=λ$\overrightarrow{OP}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=λ{x}_{P}}\\{{y}_{1}+{y}_{2}=λ{y}_{P}}\end{array}\right.$，
∴${y}_{P}=\frac{1}{λ}×\frac{-6m}{{m}^{2}+4}$，
∴${x}_{P}=\frac{1}{λ}[m（{y}_{1}+{y}_{2}）+6]=\frac{24}{λ（{m}^{2}+4）}$．
又点P在椭圆上，
∴$\frac{1}{{λ}^{2}}×[\frac{2{4}^{2}}{（{m}^{2}+4）^{2}}+\frac{4×36{m}^{2}}{（{m}^{2}+4）^{2}}]=4$．
∴${λ}^{2}=\frac{24×6+36{m}^{2}}{（{m}^{2}+4）^{2}}=\frac{36}{{m}^{2}+4}$．
又5＜m²＜8，3＜λ²＜4．
解得$-2＜λ＜-\sqrt{3}$或$\sqrt{3}＜λ＜2$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查平面向量在求解圆锥曲线问题中的应用，是中档题．