Question

16．在60°角的二面角的棱上有两个点A、B，AC、BD分别是在这个二面角的两个面内，且都垂直于AB，若AB=5，AC=3，BD=8，则CD=$\sqrt{74}$．

Answer 1

分析 由已知可得$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}$，利用数量积的性质即可得出．

解答 解：∵CA⊥AB，BD⊥AB，∴$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{AB}=0，\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{AB}=0$
又∵$＜\overrightarrow{CA}，\overrightarrow{BD}＞=12{0}^{0}$，$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}$，
∴${\overrightarrow{CD}}^{2}=（\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}）^{2}$=${\overrightarrow{CA}}^{2}+{\overrightarrow{AB}}^{2}+{\overrightarrow{BD}}^{2}+2\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{CA}•$$\overrightarrow{BD}$+2$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BD}$
=3²+5²+8²+0+2×3×8×cos120°+0=74．
∴$CD=\sqrt{74}$，故答案为：$\sqrt{74}$

点评 本题考查了空间向量的运算和数量积运算，属于中档题．