Question

14．已知函数f（x）=ax³+bx²-3x在x=±1处取得极值．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）过点A（2，2）作曲线y=f（x）的切线，求此切线方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，得到关于a，b的方程组，解出即可；
（Ⅱ）求出函数的导数，计算切线的斜率，求出切线方程即可．

解答 解：（Ⅰ）f'（x）=3ax²+2bx-3，
依题意，f'（1）=f'（-1）=0，
即$\left\{\begin{array}{l}{3a+2b-3=0}\\{3a-2b-3=0}\end{array}\right.$，解得a=1，b=0．
（Ⅱ）：∵f′（x）=3x²-3，
设切点坐标为（t，t³-3t），
则切线方程为y-（t³-3t）=3（t²-1）（x-t），
∵切线过点P（2，2），∴2-（t³-3t）=3（t²-1）（2-t），
化简得t³-3t²+4=0，∴t=-1或t=2，
∴切线的方程：y=2或9x-y-16=0．

点评 本题考查了导数和函数极值的问题，考查求切线方程，是一道中档题．