Question

8．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”它体现了一种无限与有限的转化过程，比如在表达式$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+…}}}$中，“…”即代表无数次重复，但该表达式却是个定值，它可以通过方程$\sqrt{2+x}$=x，求得x=2，类比上述过程，则3$\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{…}}}}$=9．

Answer 1

分析 通过已知得到求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），再运用该方法，注意两边平方，得到方程，解出方程舍去负的即可．

解答 解：由已知代数式的求值方法：
先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），
可得要求的式子．
令3$\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{…}}}}$=m（m＞0），
则两边平方得，则9m=m²，解得，m=9，m=0舍去．
故答案为：9．

点评 本题考查类比推理的思想方法，考查从方法上类比，是一道基础题．