Question

某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都有一部分是一等品，其余是二等品，已知甲产品为一等品的概率比乙产品为一等品的概率多0.25，甲产品为二等品的概率比乙产品为一等品的概率少0.05.

(1)分别求甲、乙产品为一等品的概率P_甲，P_乙；

(2)已知生产一件产品需要用的工人数和资金数如表所示，且该厂有工人32名，可用资金55万元．设x，y分别表示生产甲、乙产品的数量，在(1)的条件下，求x，y为何值时，z＝xP_甲＋yP_乙最大，最大值是多少？

Answer 1

 (1)依题意得

故甲产品为一等品的概率P_甲＝0.65，乙产品为一等品的概率P_乙＝0.4.

(2)依题意得x、y应满足的约束条件为

且z＝0.65x＋0.4y.

作出以上不等式组所表示的平面区域(如图阴影部分)，即可行域．

作直线l：0.65x＋0.4y＝0即13x＋8y＝0，把直线l向上方平移到l₁的位置时，直线经过可行域内的点M，且l₁与原点的距离最大，此时z取最大值．

解方程组得x＝2，y＝3.

故M的坐标为(2,3)，所以z的最大值为z_max＝0.65×2＋0.4×3＝2.5.