Question

15．若2f（x）+f（-x）=x³+x+3对x∈R恒成立，则曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为13x-y-15=0．

Answer 1

分析 将x换为-x，原式即为2f（-x）+f（x）=-x³-x+3，解出f（x），求出导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程，即可得到所求切线的方程．

解答 解：由2f（x）+f（-x）=x³+x+3，
可得2f（-x）+f（x）=-x³-x+3，
解得f（x）=x³+x+1，
可得导数为f′（x）=3x²+1，
曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为k=3×4+1=13，
切点为（2，11），
即有曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y-11=13（x-2），
即为13x-y-15=0．
故答案为：13x-y-15=0．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程，考查函数解析式的求法，注意运用函数方程法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．