Question

【题目】已知长为2的线段AB中点为C，当线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上运动时，C点的轨迹为曲线C1；
（1）求曲线C1的方程；
（2）直线 ax+by=1与曲线C1相交于C、D两点（a，b是实数），且△COD是直角三角形（O是坐标原点），求点P（a，b）与点（0，1）之间距离的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：设C点坐标为（x，y），则A点坐标为（2x，0），B点坐标为（0，2y），由|AB|=2，得（2x﹣0）2+（0﹣2y）2=4，

化简得x2+y2=1，

所以曲线C1的方程x2+y2=1，

（2）解：由曲线C1的方程x2+y2=1可知圆心（0，0），半径为1，

所以|OC|=|OD|=1，△COD是等腰直角三角形，|CD|= ，

圆心（0，0）到直线 ax+by=1的距离 = ，

即2a2+b2=2，

所以a2=1﹣ b2，（﹣ ≤b≤ ）

点P（a，b）与点（0，1）之间距离|OP|= = = = ，

当b= 时，|OP|取到最小值|OP|= = ﹣1．

【解析】（1）设C点坐标为（x，y），根据中点坐标公式，得到A点坐标为（2x，0），B点坐标为（0，2y），由|AB|=2，即可求出曲线C1的方程，（2）先求出，△COD是等腰直角三角形，|CD|= ，再根据点到直线的距离公式得到 = ，再由点到点的距离公式，根据函数的性质即可求出．