Question

【题目】对于两个定义域相同的函数、，若存在实数、使，则称函数是由“基函数、”生成的.

（1）和生成一个偶函数，求的值；

（2）若由，（且）生成，求的取值范围；

（3）试利用“基函数，”生成一个函数，使满足下列条件：①是偶函数；②有最小值1，请求出函数的解析式并进一步研究该函数的单调性（无需证明）.

Answer 1

【答案】（1）0；（2）；（3），在递减，在递增

【解析】

（1）由列方程，根据为偶函数求得的关系式，进而求得的值.

（2）由列方程组，化简后求得的关系式，利用导数求得的取值范围.

（3）构造函数，并证得其奇偶性和单调性.

（1）由为偶函数可知，所以.

（2）由得，所以，由于，所以可化简得，所以.构造函数，，所以函数在上递增，在上递减，所以函数在处，有极大值，在处有极小值.所以的取值范围是.

（3）构造函数，，所以为偶函数.由于，所以有最小值符合题意.在递减，在递增.

另补证明：由于为偶函数，只需求得上的单调性.构造函数，，由于时，，故，所以函数在上递增.根据复合函数单调性同增异减可知，函数在上递增.根据为偶函数可知，函数在递减.