Question

6．已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若4S₁，3S₂，2S₃成等差数列，且S₄=15．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若S_n≤127，求n的最大值．

Answer 1

分析 （1）由题意可知2S₂-2S₁=S₃-S₂，则2a₂=a₃，即可求得公比q，由S₄=15，即可求得a₁=1，求得数列{a_n}的通项公式；
（2）利用等比数列前n项和公式，由S_n≤127，在2ⁿ≤128=2⁷，即可求得n的最大值．

解答 解：（1）由题意得3S₂=2S₁+S₃，
∴2S₂-2S₁=S₃-S₂，即2a₂=a₃
∴等比数列{a_n}公比q=2…（3分）
又${S_4}=\frac{{{a_1}（1-{2^4}）}}{1-2}=15$，则a₁=1，
数列{a_n}的通项公式${a_n}={2^{n-1}}$…（5分）
（2）由（1）知${S_n}=\frac{{{a_1}（1-{q^{n）}}}}{1-q}=\frac{{1-{2^n}}}{1-2}={2^n}-1$，…（7分）
由S_n≤127，得2ⁿ≤128=2⁷，
∴n≤7，
∴n的最大值为7．  …（10分）

点评 本题考查等比数列的通项公式，等比数列前n项和，考查计算能力，属于中档题．