Question

11．某市5年中的煤气消耗量与使用煤气户数的历史资料如下：

年份	2006	2007	2008	2009	2010
x用户（万户）	1	1.1	1.5	1.6	1.8
y（万立方米）	6	7	9	11	12

（1）检验是否线性相关；
（2）求回归方程；
（3）若市政府下一步再扩大两千煤气用户，试预测该市煤气消耗量将达到多少？
附：b=$\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n\overline x}}^2}}}$，a=$\overline{y}$-b$\overline{x}$．

Answer 1

分析 （1）作出散点图，观察散点图得出结论；
（2）计算$\overline{x}$、$\overline{y}$，求出回归系数$\stackrel{∧}{b}$、$\stackrel{∧}{a}$，写出回归方程；
（3）利用回归方程计算x=2时$\stackrel{∧}{y}$的值即可．

解答 解：（1）作出散点图如图所示，观察散点图呈线性正相关；

（2）计算$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$×（1+1.1+1.5+1.6+1.8）=$\frac{7}{5}$，
$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$×（6+7+9+11+12）=9，
$\sum_{i=1}^5{x_i^2}$=1²+1.1²+1.5²+1.6²+1.8²=10.26，
$\sum_{i=1}^5{{x_i}{y_i}}$=1×6+1.1×7+1.5×9+1.6×11+1.8×12=66.4，
∴回归系数$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{{\sum_{i=1}^5{{x_i}{y_i}-5\overline x\overline y}}}{{{{\sum_{i=1}^5{x_i^2-5\overline x}}^2}}}$=$\frac{66.4-5×\f（7}{5}×9，10.26-5×\frac{49}{25}）$=$\frac{170}{23}$，
$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$=9-$\frac{170}{23}$×$\frac{7}{5}$=-$\frac{31}{23}$，
∴回归方程为$\stackrel{∧}{y}$=$\frac{170}{23}$x-$\frac{31}{23}$．
（3）当x=1.8+0.2=2时，代入得$\stackrel{∧}{y}$=$\frac{170}{23}$×2-$\frac{31}{23}$=$\frac{309}{23}$≈13.4．
∴预测煤气量约达13.4万立方米．

点评 本题考查了散点图与线性回归方程的应用问题，是中档题．