Question

20．数列{a_n}的前n项和是S_n，a₁=1，2S_n=a_n+1（n∈N₊），则a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{2{•3}^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 由2S_n=a_n+1⇒2S_n-1=a_n（n≥2），两式相减可得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=3（n≥2），从而可得数列{a_n}从第二项起，是以2为首项，3为公比的等比数列，可求得其通项公式．

解答 解：∵a₁=1，2S_n=a_n+1（n∈N₊）①，
∴当n≥2时，2S_n-1=a_n，②，
①-②得：2a_n=a_n+1-a_n，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=3（n≥2），
又a₂=2S₁=2a₁=2，
∴数列{a_n}从第二项起，是以2为首项，3为公比的等比数列，即a_n=2•3^n-2（n≥2），
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{2{•3}^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．
故答案为：$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{2{•3}^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列递推式的应用，求得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=3（n≥2）是关键，容易忽略条件n≥2，是易错点，考查推理与分析、运算能力，属于中档题．