Question

9．已知点$F（\frac{1}{2}，0）$及直线$l：x=-\frac{1}{2}$．P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为Q，且$\overrightarrow{QP}•\overrightarrow{QF}=\overrightarrow{FP}•\overrightarrow{FQ}$．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）设圆M过点A（1，0）且圆心M在P的轨迹C上，E₁，E₂是圆M在y轴上截得的弦，证明弦长|E₁E₂|是一个常数．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意知，设点P的坐标为（x，y），则Q的坐标为$（{-\frac{1}{2}，y}）$，求得向量QP，QF，FP，FQ的坐标，运用向量的数量积的坐标表示，化简即可得到所求轨迹的方程；
（Ⅱ）设M（a，b）为圆M的圆心，则b²=2a，求得圆的方程，令x=0，解得交点的纵坐标，即可得到所求定值2．

解答 解：（Ⅰ）由题意知，设点P的坐标为（x，y），则Q的坐标为$（{-\frac{1}{2}，y}）$，
因此$\overrightarrow{QP}=（{x+\frac{1}{2}，0}），\overrightarrow{QF}=（{1，-y}）$，
$\overrightarrow{FP}=（{x-\frac{1}{2}，y}），\overrightarrow{FQ}=（{-1，y}）$．
因$\overrightarrow{QP}•\overrightarrow{QF}=\overrightarrow{FP}•\overrightarrow{FQ}$，
得$（{x+\frac{1}{2}，0}）•（{1，-y}）=（{x-\frac{1}{2}，y}）•（{-1，y}）$，
即$x+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}-x+{y^2}$，
故动点P（x，y）的坐标满足方程y²=2x；
设N（x₀，y₀）是y²=2x的任一点，
过N作直线l的垂线，垂足为Q，则有$\overrightarrow{FN}•\overrightarrow{FQ}=\overrightarrow{QN}•\overrightarrow{QF}$，
即y²=2x上的任一点都具有所需的性质．
综上，动点P的轨迹方程为y²=2x；
（Ⅱ）证明：设M（a，b）为圆M的圆心，则b²=2a．
由圆M过点A（1，0），
可得圆M上的点（x，y）满足（x-a）²+（y-b）²=（a-1）²+b²．
令x=0，得y²-2by+2a-1=0，
于是可得圆M与y轴的交点为E₁（0，y₁）和E₂（0，y₂），
其中${y_{1，2}}=b±\sqrt{{b^2}-2a+1}=b±1$，
故|E₁E₂|=|y₁-y₂|=2是一个常数．

点评 本题考查轨迹方程的求法，注意运用向量的数量积的坐标表示，考查圆的弦长为定值的求法，注意点满足抛物线的方程，考查运算能力，属于中档题．