Question

9．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b=4，c=1，A=2B，则sinA的值是$\frac{\sqrt{55}}{8}$．

Answer 1

分析 根据正弦定理得出a和cosB的关系，使用余弦定理列方程解出a，求出sinB，cosB，得出sinA．

解答 解：∵$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，∴$\frac{a}{2sinBcosB}=\frac{4}{sinB}$，∴cosB=$\frac{a}{8}$．
∵cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}-15}{2a}$，
∴$\frac{{a}^{2}-15}{2a}$=$\frac{a}{8}$，解得a=2$\sqrt{5}$．
∴cosB=$\frac{2\sqrt{5}}{8}=\frac{\sqrt{5}}{4}$，sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{\sqrt{11}}{4}$．
∴sinA=2sinBcosB=$\frac{\sqrt{55}}{8}$．
故答案为$\frac{\sqrt{55}}{8}$．

点评 本题考查了正余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．