Question

已知函数f（x）=ax²+bx（a，b为常数，且a≠0），x=1时f（x）有最大值，且函数g（x）=f（x）-x只有一个零点．
（1）求函数f（x）的解析式
（2）求实数m，n（m＜n），使得f（x）的定义域为[m，n]时，值域是[3m，3n]．

Answer 1

解：（1）因为函数f（x）=ax²+bx（a，b为常数，且a≠0），在x=1时，f（x）有最大值，
所以a＜0，对称轴为x=1，即，所以b=-2a．
g（x）=f（x）-x=ax²+bx-x=ax²+（b-1）x，因为函数g（x）=f（x）-x只有一个零点．
所以△=（b-1）²=0，解得b=1，．
所以．
（2）由（1）则二次函数的对称轴为x=1，
①当m＜n＜1时，f （x）在[m，n]上单调递增，f （m）=3m，f （n）=3n，
所以m，n是-x²+x=3x的两根．
解得m=-4，n=0；
②当m≤1≤n时，3n=，解得n=．不符合题意； …10分
③当1＜m＜n时，f （x）在[m，n]上单调递减，所以f（m）=3n，f（n）=3m．
即-m²+m=3n，-n²+n=3m．
相减得-（m²-n²）+（m-n）=3（n-m）．
因为m≠n，所以-（m+n）+1=-3．所以m+n=8．
将n=8-m代入-m²+m=3n，
得-m²+m=3（8-m）．但此方程无解．
所以m=-4，n=0时，f （x）的定义域和值域分别是[m，n]和[3m，3n]．…
分析：（1）利用函数在x=1时f（x）有最大值，得到抛物线开口向下，且对称轴为x=1，然后利用函数g（x）=f（x）-x只有一个零点，解出a，b．
（2）根据（1）中的解析式，我们分m＜n＜1，m≤1≤n，1＜m＜n三种情况分析讨论满足f（x）的定义域为[m，n]时，f（x）的取值范围是[3m，3n]的m，n值，最后综合讨论结果，即可得到答案．
点评：本题考查了二次函数解析式的求法，其中（2）中讨论区间[m，n]与对称轴的关系，是解答二次函数问题最常见的思路．