Question

10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3cosBcosC+1=3sinBsinC+cos2A．
（1）求角A的大小；   
（2）若$a=2\sqrt{3}$，求b+c的最大值．

Answer 1

分析 （1）由已知利用三角函数恒等变换的应用化简可得2cos²A+3cosA-2=0，可得cosA=$\frac{1}{2}$，进而可求A的值．
（2）由已知及余弦定理可求得$bc=\frac{{{{（{b+c}）}^2}-12}}{3}$，利用基本不等式即可求得b+c的最大值．

解答 （本题满分为14分）
解：（1）由3cosBcosC+1=3sinBsinC+cos2A，
得3（cosBcosC-sinBsinC）=cos2A-1，
即3cos（B+C）=2cos²A-2，即2cos²A+3cosA-2=0…（3分）
可得：（2cosA-1）（cosA+2）=0，
可得：cosA=$\frac{1}{2}$或cosA=-2（舍去），
可得：A=$\frac{π}{3}$…6分
（2）由$A=\frac{π}{3}，a=2\sqrt{3}$及b²+c²-2bccosA=a²得b²+c²-bc=12，…（9分）
从而（b+c）²-3bc=12，即$bc=\frac{{{{（{b+c}）}^2}-12}}{3}$，…（11分）
又因$bc≤\frac{{{{（{b+c}）}^2}}}{4}$，所以$\frac{{{{（{b+c}）}^2}-12}}{3}≤\frac{{{{（{b+c}）}^2}}}{4}$即（b+c）²≤48，
所以$b+c≤4\sqrt{3}$，当且仅当$b=c=2\sqrt{3}$时取到最大值$4\sqrt{3}$．…（14分）

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．