Question

16．已知复数z满足：|z|=1+3i-z，求$\frac{3+4i}{Z}$的值．

Answer 1

分析 设z=a+bi，（a，b∈R），代入|z|=1+3i-z，利用复数相等的条件列式求得a，b的值，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．

解答 解：设z=a+bi，（a，b∈R），
而|z|=1+3i-z，即$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}-1-3i+a+bi=0$，
则$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}+a-1=0}\\{b-3=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-4}\\{b=3}\end{array}\right.$，∴z=-4+3i．
∴$\frac{3+4i}{z}=\frac{3+4i}{-4+3i}=\frac{（3+4i）（-4-3i）}{（-4+3i）（-4-3i）}$=$\frac{-25i}{25}=-i$．

点评 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，是基础题．