Question

5．已知△ABC中，AC=$\sqrt{2}$，BC=$\sqrt{6}$，∠ACB=$\frac{π}{6}$，若线段BA的延长线上存在点D，使∠BDC=$\frac{π}{4}$，则CD=$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 在△ABC中，由余弦定理可得AB，进而可求∠B，在△ACD中，由正弦定理可得CD的值．

解答 解：∵AC=$\sqrt{2}$，BC=$\sqrt{6}$，∠ACB=$\frac{π}{6}$
在△ABC中，由余弦定理可得：
AB²═BC²+AC²-2BC•AC•cos∠ACB=2+6-2×$\sqrt{2}$×$\sqrt{6}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2，
∴AB=$\sqrt{2}$
∴∠B=∠ACB=$\frac{π}{6}$，
∴∠DAC=∠B+∠ACB=$\frac{π}{3}$，
在△ACD中，由正弦定理可得$\frac{AC}{sin∠ADC}$=$\frac{CD}{sin∠DAC}$，
∴CD=$\frac{\sqrt{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\sqrt{3}$
故答案为：$\sqrt{3}$

点评 本题主要考查了余弦定理，正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．