Question

20．已知点M是半径为4的圆C内的一个定点，点P是圆C上的一个动点，线段MP的垂直平分线l与半径CP相交于点Q，则|CQ|•|QM|的最大值为4．

Answer 1

分析 由已知得|CQ|+|QM|=|CQ|+|QP|=|CP|=4，从而4=|CQ|+|QM|≥2$\sqrt{|\overrightarrow{CQ}|•|\overrightarrow{QM}}|$，问题得以解决

解答 解：∵A是半径为4的圆C内一个定点，P是圆C上的一个动点，
线段MP的垂直平分线l与半径CP相交于点Q，
∴|CQ|+|QM|=|CQ|+|QP|=|CP|=4，
∴4=|CQ|+|QM|≥2$\sqrt{|\overrightarrow{CQ}|•|\overrightarrow{QM}}|$，
∴|CQ|•|QM|≤4，
当且仅当Q为CP中点时取等号，
∴|CQ|•|QM|的最大值为4．
故答案为：4．

点评 本题考查两线段积的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆形结合思想、均值定理的合理运用．