Question

某商品每件成本5元，售价14元，每星期卖出75件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数m与商品单价的降低值x（单位：元，0≤x＜9）的平方成正比，已知商品单价降低1元时，一星期多卖出5件．
（1）将一星期的商品销售利润y表示成x的函数；
（2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,函数模型的选择与应用

专题：应用题,导数的概念及应用

分析：（1）依题意，设m=kx²，由已知有5=k•1²，可求得k值，根据单件利润×销售量可得函数式；
（2）利用导数即可求得函数的最大值，注意函数定义域；

解答： 解：（1）依题意，设m=kx²，由已知有5=k•1²，从而k=5，
∴m=5x²，
∴y=（14-x-5）（75+5x²）=-5x³+45x²-75x+675（0≤x＜9）；
（2）∵y′=-15x²+90x-75=-15（x-1）（x-5），
由y′＞0，得 1＜x＜5，由y′＜0，得 0≤x＜1或5＜x＜9，
可知函数y在[0，1）上递减，在（1，5）递增，在（5，9）上递减，
从而函数y取得最大值的可能位置为x=0或是x=5，
∵y（0）=675，y（5）=800，
∴当x=5时，y_max=800，
答：商品每件定价为9元时，可使一个星期的商品销售利润最大．

点评：本题考查利用导数求函数的最值、实际问题中函数模型的构建问题，考查学生利用数学知识分析解决实际问题的能力．