Question

已知Ox，Oy为平面上两条相交且不垂直的数轴，设∠xOy=θ，平面上任意一点P关于斜坐标系的坐标这样定义：若

OP

=x

e1

+y

e2

（其中

e1

，

e2

分别是与x轴，y轴的正方向同向的单位向量），则

OP

的坐标为（x，y），则在平面斜坐标系下给出给出下列几个运算结论：
①若θ=

π

3

，P（1，1），则有|

OP

|=

2

；
②若P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则有

OP

+

OQ

=(x1+x2，y1+y2)；
③若P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则有

OP

•

OQ

=(x1x2，y1y2)；
④设∠xOy=

π

3

，点P在第二象限内，∠xOP=

5π

6

且|OP|=3，则点P的坐标为P(-2

3

，

3

)．
其中正确的运算结论是

 

（写出所有正确结论的编号）．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：新定义

分析：首先得到②显然正确，运用向量的数量积先求出

e1

•

e2

，再求|

OP

|，

OP

•

OQ

；对④运用平行四边形法则将

OP

分解成OX，OY轴方向，从而得出点P的坐标．

解答： 解：①∵θ=

π

3

，P（1，1），

e1

•

e2

=1×1×cos

π

3

=

1

2

，
∴|

OP

|=

( e1 + e2) 2

=

1+1+2× 1 2

=

3

，故①错；
②显然正确；
③∵

OP

=x1

e1

+y1

e2

，

OQ

=x2

e1

+y2

e2

，
∴

OP

•

OQ

=x1x2+y1y2+(x1y2+x2y1)•(

e1

•

e2

)，
故③错；
④将向量OP沿Ox轴，Oy轴分解成OB，OA，因为∠xOy=

π

3

，点P在第二象限内，∠xOP=

5π

6

且|OP|=3，所以OA=3×tan30°=

3

，OB=

3

cos30°

=2

3

，所以点P的坐标是（-2

3

，

3

)，
故④对．
故答案为：②④

点评：本题考查斜坐标系下的两向量的加法、数量积和模的运算，注意区别直角坐标系下的运算，同时考查将一个向量分解的方法以求点的坐标，是一道中档题．