Question

11．已知函数f（x）=sin²x+2$\sqrt{3}sinxcosx+3{cos^2}$x-2，x∈R，求：
（1）函数f（x）的最小正周期和单调增区间；
（2）函数f（x）在区间$[-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}]$上的值域．

Answer 1

分析 （1）f（x）解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，确定出周期及增区间即可；
（2）由x的范围确定出2x+$\frac{π}{6}$的范围，利用正弦函数的单调性确定出所求值域即可．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{1-cos2x}{2}$+$\sqrt{3}$sin2x+$\frac{3（1+cos2x）}{2}$-2
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∴T=$\frac{2π}{2}$=π，
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
解得：-$\frac{π}{3}$+kπ≤x≤$\frac{π}{6}$+kπ，k∈Z，
则f（x）的最小正周期为π，f（x）的递增区间是[-$\frac{π}{3}$+kπ，$\frac{π}{6}$+kπ]，k∈Z；
（2）由-$\frac{π}{6}$≤x≤$\frac{π}{3}$，得到-$\frac{π}{6}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{5π}{6}$，
∴-$\frac{1}{2}$≤sin（2x+$\frac{π}{6}$）≤1，
则f（x）在区间[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上的值域为[-$\frac{1}{2}$，1]．

点评 此题考查了三角函数的周期性及其求法，以及正弦函数的单调性，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．