Question

在直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b+2（k≠0）的图象与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，且使得△OAB的面积值等于|OA|+|OB|+3．
（1）用b表示k；
（2）求△OAB面积的最小值．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）先求出A，B两点的坐标，然后表示出△OAB的面积，令其等于|OA|+|OB|+3即可用b表示k；
（2）化简所求式子后根据配方法即可求出△OAB面积的最小值

解答： 解：（1）令x=0，得y=b，b＞0；
令y=0，得x=-

b

k

＞0，k＜0．
所以A，B两点的坐标分别为A（-

b

k

，0），B（0，b），
于是，△OAB的面积为S=

1

2

b（-

b

k

）．
由题意，有

1

2

b(-

b

k

)=-

b

k

+b+3，
解得k=

2b-b2

2(b+3)

，b＞2；
（2）b＞2，
由（1）知S=•b（-

b

k

）=

b(b+3)

b-2

=

(b-2)+7(b-2)+10

b-2

=（b-2）+

10

b-2

+7≥7+2

10

，
当且仅当b-2=

10

b-2

时，有S=7+2

10

，
即当b=2+

10

，k=-1时，不等式中的等号成立．
所以，△OAB面积的最小值为7+2

10

．

点评：本题考查了二次函数的最值及三角形的面积，难度一般，关键是根据已知条件求出用b表示k后由配方法即可得出答案．