Question

2．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，C₁C⊥底面ABC，CC₁=AB=AC=BC=4，D为线段AC的中点．
（Ⅰ）求证：直线AB₁∥平面BC₁D；
（Ⅱ）求证：平面BC₁D⊥平面A₁ACC₁；
（Ⅲ）求三棱锥D-C₁CB的体积．

Answer 1

分析 （I）连结B₁C交BC₁于点M，连结DM，根据中位线定理得出AB₁∥DM，故而AB₁∥平面BC₁D；
（II）由BD⊥AC，BD⊥CC₁即可得出BD⊥平面AA₁C₁C，故平面BC₁D⊥平面A₁ACC₁；
（III）以△BCD作棱锥的底面，则CC₁为棱锥的高，代入体积公式计算．

解答 证明：（Ⅰ）连结B₁C交BC₁于点M，连结DM，
∵D为AC中点，M为B₁C中点，
∴DM∥AB₁，又∵AB₁?平面BC₁D，DM?平面BC₁D，
∴AB₁∥平面BC₁D．
（Ⅱ）∵CC₁⊥底面ABC，BD?底面ABC，
∴CC₁⊥BD．
∵AB=BC，D为AC中点，
∴BD⊥AC．又∵AC?A₁ACC₁，CC₁?平面A₁ACC₁，AC∩CC₁=C，
∴BD⊥平面A₁ACC₁，∵BD?平面C₁DB，
∴平面BC₁D⊥平面A₁ACC₁．
（Ⅲ）∵CD=$\frac{1}{2}AC=2$，BC=4，BD⊥AC，
∴BD=$\sqrt{B{C}^{2}-C{D}^{2}}$=2$\sqrt{3}$．
∵CC₁⊥底面ABC，∴CC₁为三棱锥C₁-DBC的高，
所以${V_{D-{C_1}CB}}={V_{{C_1}-BCD}}=\frac{1}{3}{S_{△BCD}}×C{C_1}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}×4=\frac{8}{3}\sqrt{3}$．

点评 本题考查了线面平行，面面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．