Question

9．已知f（x）=sinx+1，g（x）=me^x，若?x∈[0，π]，都有f（x）≤g（x）成立，则m的取值范围是[1，+∞）．

Answer 1

分析 令F（x）=g（x）-f（x）=me^x-sinx-1，?x∈[0，π]，都有f（x）≤g（x）成立，可得F（x）=g（x）-f（x）=me^x-sinx-1≥0，m$≥\frac{sinx+1}{{e}^{x}}$=h（x），利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．

解答 解：令F（x）=g（x）-f（x）=me^x-sinx-1，
∵?x∈[0，π]，都有f（x）≤g（x）成立，
∴F（x）=g（x）-f（x）=me^x-sinx-1≥0，
∴m$≥\frac{sinx+1}{{e}^{x}}$=h（x），
h′（x）=$\frac{cosx-sinx-1}{{e}^{x}}$=$\frac{-\sqrt{2}sin（x-\frac{π}{4}）-1}{{e}^{x}}$．
$（x-\frac{π}{4}）$∈$[-\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}]$，∴$sin（x-\frac{π}{4}）$∈$[-\frac{\sqrt{2}}{2}，1]$．
∴h′（x）≤0，
∴函数h（x）在x∈[0，π]上单调递减，
∴h（x）_max=h（0）=1．
∴m≥1．
故答案为：[1，+∞）．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值应与最值、三角函数求值、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．