Question

4．已知函数f（x）=sinxcosx+sin²x．
（1）求函数f（x）的递增区间；
（2）若a为锐角，且f（$\frac{α}{2}$）=$\frac{3\sqrt{2}+5}{10}$，求cosα．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数恒等变换的应用化简可求f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{2}$，利用正弦函数的单调性即可得解．
（2）由已知可求sin（α-$\frac{π}{4}$）=$\frac{3}{5}$，利用同角三角函数基本关系式可求cos（α-$\frac{π}{4}$）的值，进而利用两角和的余弦函数公式即可计算得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）f（x）=sinxcosx+sin²x=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{1-cos2x}{2}$=$\frac{1}{2}$（sin2x-cos2x）+$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{2}$，…4分
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
解得f（x）的单调递增区间为：[-$\frac{π}{8}$+kπ，$\frac{3π}{8}$+kπ]，（k∈Z），…6分
（2）因为，f（$\frac{α}{2}$）=$\frac{3\sqrt{2}+5}{10}$，
所以，$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（α-$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{2}$=$\frac{3\sqrt{2}+5}{10}$，可得：sin（α-$\frac{π}{4}$）=$\frac{3}{5}$，…8分
因为α∈（0，$\frac{π}{2}$），可得：α-$\frac{π}{4}$∈（-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$），可得：cos（α-$\frac{π}{4}$）=$\frac{4}{5}$，…10分
所以，cosα=[（α-$\frac{π}{4}$）+$\frac{π}{4}$]=cos（α-$\frac{π}{4}$）cos$\frac{π}{4}$-sin（α-$\frac{π}{4}$）sin$\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{10}$．…12分

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的单调性，同角三角函数基本关系式，两角和的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．