Question

11．已知平面内一动点M与两定点B₁（0，-1）和B₂（0，1）连线的斜率之积等于-$\frac{1}{2}$
（Ⅰ）求动点M的轨迹E的方程：
（Ⅱ）设直线l：y=x+m（m≠0）与轨迹E交于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点P，当m变化时，求△PAB面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设M（x，y），则$\frac{y+1}{x}•\frac{y-1}{x}$=-$\frac{1}{2}$，化简即可求动点M的轨迹E的方程；
（Ⅱ）直线y=x+m代入椭圆方程，求出|AB|，|MP|，可得△PAB的面积，配方，即可求出三角形面积的最大值．

解答 解：（Ⅰ）设M（x，y），则$\frac{y+1}{x}•\frac{y-1}{x}$=-$\frac{1}{2}$，化简为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1（x≠0）；
（Ⅱ）y=x+m代入椭圆方程，消去y得3x²+4mx+2m²-2=0
∵直线l与椭圆有两个交点，
∴△＞0，可得m²＜3（*）--
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴x₁+x₂=-$\frac{4m}{3}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-2}{3}$，
∴弦长|AB|=$\sqrt{2}$|x₁-x₂|=$\frac{2\sqrt{2}}{3}•\sqrt{6-2{m}^{2}}$，
AB中点M（-$\frac{2m}{3}$，$\frac{m}{3}$），设P（x，0），∴k_AB•k_MP=-1，
∴$\frac{\frac{m}{3}}{-\frac{2m}{3}-x}$•1=-1，
∴x=-$\frac{m}{3}$，
∴P（-$\frac{m}{3}$，0），|PM|=$\frac{\sqrt{2}|m|}{3}$，
∴S=$\frac{1}{2}$|AB||MP|=$\frac{2}{9}\sqrt{-2（{m}^{2}-\frac{3}{2}）^{2}+\frac{9}{2}}$
∵m²＜3，∴m²=$\frac{3}{2}$时，S_max=$\frac{\sqrt{2}}{3}$．

点评 待定系数法是解决椭圆标准方程的关键，直线与圆锥曲线联立，是解决弦长问题的常用方法．