Question

已知函数f（x）=

ax2+2x-1

x

的定义域恰为不等式log₂（x+3）+log

1

2

x≤3的解集，且f（x）在定义域内单调递减，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：先求出不等式的解集，利用f（x）在定义域内单调递减，得到关于a的不等式，使a＜-

1

x1x2

恒成立，故a小于或等于-

1

x1x2

的最小值．

解答：解：由log₂（x+3）+log

1

2

x≤3得

log2 x+3 x ≤3 x＞0

?

x+3 x ≤8 x＞0

?x≥

3

7

，
即f（x）的定义域为[

3

7

，+∞）．
∵f（x）在定义域[

3

7

，+∞）内单调递减，
∴当x₂＞x₁≥

3

7

时，f（x₁）-f（x₂）＞0恒成立，即有（ax₁-

1

x1

+2）-（ax₂-

1

x2

+2）＞0?a（x₁-x₂）-（

1

x1

-

1

x2

）＞0?（x₁-x₂）（a+

1

x1x2

）＞0恒成立．
∵x₁＜x₂，∴（x₁-x₂）（a+

1

x1x2

）＞0?a+

1

x1x2

＜0．
∵x₁x₂＞

9

49

?-

1

x1x2

＞-

49

9

，
要使a＜-

1

x1x2

恒成立，
则a的取值范围是a≤-

49

9

．

点评：本题考查对数的运算性质，函数的单调性及函数的恒成立问题．