Question

下列说法：
①设α，β都是锐角，则必有sin（α+β）＜sinα+sinβ；
②在△ABC中，若sin²A+sin²B＞sin²C，则△ABC为锐角三角形；
③在△ABC中，若A＜B，则cos2A＜cos2B；
则其中正确命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用,三角形的形状判断,解三角形

专题：阅读型,解三角形

分析：①应用两角和的正弦公式，加上cosβ，cosα∈（0，1），即可判断；
②先应用正弦定理，得到三边的关系，再应用余弦定理，得到角的大小，即可判断；
③A＜B，则a＜b，应用正弦定理，再应用二倍角的余弦公式，注意逆用公式，即可判断．

解答： 解：①由于α，β都是锐角，故sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ＜sinα+sinβ，即①正确；
②在△ABC中，若sin²A+sin²B＞sin²C，由正弦定理得到a²+b²＞c²，再由余弦定理得，cosC＞0，C为锐角，但△ABC不一定为锐角三角形，故②错；
③在△ABC中，若A＜B，则a＜b．由正弦定理得，sinA＜sinB，1-2sin²A＞1-2sin²B，即cos2A＞cos2B，故③错．
故答案为：①．

点评：本题以命题的真假判断为载体，考查解三角形的有关知识：正弦定理和余弦定理及应用，同时考查三角恒等变换公式，是一道基础题．