Question

7．在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$（n∈N）
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）当n≥2，n∈N时，不等式a_n+1+a_n+2+…+a_2n$＞\frac{12}{35}$（log₃m-log₂m+1）恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过对a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$两边同时取倒数，进而可知数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是首项为1、公差为2的等差数列，计算即得结论；
（Ⅱ）通过记f（n）=a_n+1+a_n+2+…+a_2n，作差可知f（n）单调递增，进而问题转化为$\frac{12}{35}$$＞\frac{12}{35}$（log₃m-log₂m+1），结合对数的性质解不等式即得结论．

解答 解：（Ⅰ）∵a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$+2，
又∵$\frac{1}{{a}_{1}}$=1，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是首项为1、公差为2的等差数列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+2（n-1）=2n-1，a_n=$\frac{1}{2n-1}$；
（Ⅱ）令f（n）=a_n+1+a_n+2+…+a_2n，f（n+1）=a_n+2+a_n+3+…+a_2n+2，
∵f（n+1）-f（n）=a_2n+1+a_2n+2-a_n+1=$\frac{1}{（4n+1）（4n+3）（2n+1）}$＞0，
∴f（n）单调递增，
故当n≥2时，f_min（n）=f（2）=a₃+a₄=$\frac{12}{35}$，
从而$\frac{12}{35}$$＞\frac{12}{35}$（log₃m-log₂m+1），
整理得：log₃m-log₂m+1＜1，
∴log₃m＜log₂m，即$\frac{lgm}{lg3}$＜$\frac{lgm}{lg2}$，
∴lgm（lg3-lg2）＞0，lgm＞0，即m＞1，
故实数m的取值范围是（1，+∞）．

点评 本题是一道关于数列与不等式的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．