Question

已知f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，f′（x）是f（x）的导函数，若对?x∈（0，+∞），都有f[f（x）-2^x]=3，则方程f′（x）-

4

x

=0的解所在的区间是（　　）

• A、（0，

  1

  2

  ）
• B、（

  1

  2

  ，1）
• C、（1，2）
• D、（2，3）

Answer 1

考点：导数的运算

专题：导数的综合应用

分析：由题意，可知f（x）-2^X是定值，令t=f（x）-2^X，得出f（x）=2^X+t，再由f（t）=2^t+t=3求出t的值，即可得出f（x）的表达式，求出函数的导数，即可求出f′（x）-

4

x

=0的解所在的区间，即得正确选项．

解答： 解：由题意，可知f（x）-2^X是定值，不妨令t=f（x）-2^X，则f（x）=2^X+t
又f（t）=2^t+t=3，解得t=1
所以有f（x）=2^X+1
所以f′（x）=2^X•ln2，
令F（x）=f′（x）-

4

x

=2^X•ln2-

4

x

可得F（1）=2¹•ln2-4＜0，F（2）=2²•ln2-2＞0，
即F（x）=2^X•ln2-

4

x

零点在区间（1，2）内
所以f′（x）-

4

x

=0的解所在的区间是（1，2）
故选：C．

点评：本题考查导数运算法则，函数的零点，解题的关键是判断出f（x）-2^x是定值，本题考查了转化的思想，将方程的根转化为函数的零点来进行研究，降低了解题的难度．