过抛物线C:上的点M分别向C的准线和x轴作垂线,两条垂线及C的准线和x轴围成边长为4的正方形,点M在第一象限.
(1)求抛物线C的方程及点M的坐标;
(2)过点M作倾斜角互补的两条直线分别与抛物线C交于A,B两点,且直线AB过点(0,-1),求的面积.
(1)y2=8x,(2,4);(2).
解析试题分析:本题主要考查抛物线的标准方程及其几何性质、韦达定理、点到直线的距离、三角形面积公式等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问,由题意结合抛物线图象得到M点坐标,代入抛物线方程中,解出P的值,从而得到抛物线的标准方程及M点坐标;第二问,设出A,B点坐标,利用M点,分别得到直线MA和直线MB的斜率,因为两直线倾斜角互补,所以两直线的斜率相加为0,整理得到y1+y2=-8,代入到中得到直线AB的斜率,于是得到直线AB的方程,令直线与抛物线联立,得到,而,,而用两点间距离公式转化,d是M到直线AB的距离,从而得到的面积.
(1)抛物线C的准线x=-,依题意M(4-,4),
则42=2p(4-),解得p=4.
故抛物线C的方程为y2=8x,点M的坐标为(2,4), 3分
(2)设.
直线MA的斜率,同理直线MB的斜率.
由题设有,整理得y1+y2=-8.
直线AB的斜率. 6分
于是直线AB的方程为y=-x-1.
由得y2+8y+8=0.
|y1-y2|==,
于是|AB|=|y1-y2|=8. 10分
点M到直线AB的距离,
则△MAB的面积S=|AB|·d=. 12分
考点:抛物线的标准方程及其几何性质、韦达定理、点到直线的距离、三角形面积公式.
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(本小题满分12分)
已知点A,椭圆E:的离心率为;F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为,O为坐标原点
(I)求E的方程;
(II)设过点A的动直线与E 相交于P,Q两点。当的面积最大时,求的直线方程.
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设抛物线的焦点为,点,线段的中点在抛物线上.设动直线与抛物线相切于点,且与抛物线的准线相交于点,以为直径的圆记为圆.
(1)求的值;
(2)证明:圆与轴必有公共点;
(3)在坐标平面上是否存在定点,使得圆恒过点?若存在,求出的坐标;若不存在,说明理由.
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已知椭圆的右焦点为,离心率,是椭圆上的动点.
(1)求椭圆标准方程;
(2)若直线与的斜率乘积,动点满足,(其中实数为常数).问是否存在两个定点,使得?若存在,求的坐标及的值;若不存在,说明理由.
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(13分)(2011•天津)设椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.点P(a,b)满足|PF2|=|F1F2|.
(Ⅰ)求椭圆的离心率e;
(Ⅱ)设直线PF2与椭圆相交于A,B两点,若直线PF2与圆(x+1)2+=16相交于M,N两点,且|MN|=|AB|,求椭圆的方程.
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已知椭圆的离心率为,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.
(1)求椭圆的方程;
(2)若过点(2,0)的直线与椭圆相交于两点,设为椭圆上一点,且满足(为坐标原点),当< 时,求实数取值范围.
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已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,离心率为,右焦点到右顶点的距离为.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)若直线与椭圆交于两点,是否存在实数,使成立?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.
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已知椭圆,为坐标原点,椭圆的右准线与轴的交点是.
(1)点在已知椭圆上,动点满足,求动点的轨迹方程;
(2)过椭圆右焦点的直线与椭圆交于点,求的面积的最大值
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