Question

有以下命题：
①一个简谐运动的函数表达式为f(x)=sin(

1

2

x+

3π

4

)，则这个简谐运动的函数的最小正周期为4π；
②已知函数f（x）=loga(x-

87

2

)+89，(a＞0且a≠1)恒过定点（m，n），则m，n使等式m=sin²1°+sin²2°+sin²3°+…+sin²n°成立；
③对于函数f（x）=x²+ax+b和g(x)=logax(0＜a＜1)，有f(

x1+x2

2

)≤f(x1)+f(x2)和g(

x1+x2

2

)≥g(x1)+g(x2)成立；
④定义：若任意x∈A，总有a-x∈A，（A≠∅），就称集合A为a的闭集．已知集合A⊆{1，2，3，4，5，6}，且A为6的闭集，则这样的集合A共有7个；
其中所有正确叙述的命题序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：利用函数的周期判断①的正误；求出函数经过的定点然后判断等式是否成立判断②的正误；利用函数的凹凸性判断③的正误；根据已知中“闭集”的定义，求出集合A⊆{1，2，3，4，5，6}且A为6的“闭集”，可判断④的正误；

解答： 解：对于①，一个简谐运动的函数表达式为f(x)=sin(

1

2

x+

3π

4

)，则这个简谐运动的函数的最小正周期为4π；∴①正确；
对于②，已知函数f（x）=loga(x-

87

2

)+89，(a＞0且a≠1)恒过定点（m，n），则m=

89

2

，n=89，
使等式m=sin²1°+sin²2°+sin²3°+…+sin²89°成立；
（∵sin²1°+sin²2°+sin²3°+…+sin²89+cos²1°+cos²2°+cos²3°+…+cos²89°=89，∴m=

89

2

）∴②正确；
对于③，对于函数f（x）=x²+ax+b是凹函数和g(x)=logax(0＜a＜1)，是凸函数，有f(

x1+x2

2

)≤f(x1)+f(x2)和g(

x1+x2

2

)≥g(x1)+g(x2)成立，∴③正确；
对于④，集合A⊆{1，2，3，4，5，6}且A为6的“闭集”，则这样的集合A共有
{3}，{1，5}，{2，4}，{1，3，5}，{2，3，4}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}共7个，故④正确．
故答案为：①②③④．

点评：本题考查的知识点是三周函数的周期性，三角函数值的求法，函数凹凸性，是逻辑与其它章节的综合应用，难度中档．