Question

7．已知x，y为正实数，且满足（xy-1）²=（3y+2）（y-2），则x+$\frac{1}{y}$的最大值为2$\sqrt{2}$-1．

Answer 1

分析 由已知条件可得4=（x-$\frac{1}{y}$）²+（1+$\frac{2}{y}$）²，再根据基本不等式可得（x+$\frac{1}{y}$+1）²≤8，问题得以解决．

解答 解：∵（xy-1）²=（3y+2）（y-2）=3y²-4y-4，
∴（xy-1）²+（y²+4y+4）=4y²，
∴（xy-1）²+（y+2）²=4y²，
∴4=（x-$\frac{1}{y}$）²+（1+$\frac{2}{y}$）²≥$\frac{1}{2}$（x-$\frac{1}{y}$+1+$\frac{2}{y}$）²，当且仅当x-$\frac{1}{y}$=1+$\frac{2}{y}$时取等号，
∴（x+$\frac{1}{y}$+1）²≤8
∴x+$\frac{1}{y}$+1≤2$\sqrt{2}$，
∴x+$\frac{1}{y}$≤2$\sqrt{2}$-1，
故答案为：2$\sqrt{2}$-1

点评 本题考查了基本不等式的应用，关键是转化，属于中档题．