Question

4．直线y=x+1被椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$所截得的弦的中点坐标是$（-\frac{2}{3}，\frac{1}{3}）$．

Answer 1

分析 将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及中点坐标公式求得弦的中点横坐标，代入直线方程，即可求得弦的中点纵坐标，即可求得弦的中点坐标．

解答 解：设直线y=x+1与椭圆交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，整理得x²+2（x+1）²=4，
∴3x²+4x-2=0，
由韦达定理可知：x₁+x₂=-$\frac{4}{3}$，
∴弦的中点横坐标是x=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{2}{3}$，
代入直线方程中，得y=x+1=（-$\frac{2}{3}$）+1=$\frac{1}{3}$，
∴弦的中点是（-$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}$）
故答案为：$（-\frac{2}{3}，\frac{1}{3}）$．

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，韦达定理，中点坐标公式，考查计算能力，属于中档题．