Question

【题目】已知函数y＝f(x)在R上的图象是连续不断的一条曲线，且图象关于原点对称，其导函数为f'(x)，当x＞0时，x2f'(x)＞﹣2xf(x)成立，若x∈R，e2xf(ex)﹣a2x2f(ax)＞0恒成立，则a的取值范围是_____.

Answer 1

【答案】0≤a＜e

【解析】

构造g(x)＝x2f(x)，利用x2f'(x)＞﹣2xf(x)，可得g（x）在(0，+∞)上单调递增，转化e2xf(ex)﹣a2x2f(ax)＞0，为g(ex)＞g(ax)，即可得ex＞ax，分x=0,x>0,x<0三种情况讨论，参变分离即得解.

令g(x)＝x2f(x)，

因为x＞0时，x2f'(x)＞﹣2xf(x)

可知x＞0时g'(x)＝2xf(x)+x2f(x)＞0，

g（x）在（0，+∞）上单调递增，

又因为函数y＝f（x）在R上的图象是连续不断的一条曲线，且图象关于原点对称，

所以g(x)为R上单调递增的奇函数，

因为e2xf(ex)﹣a2x2f(ax)＞0，所以g(ex)＞g(ax)，

即可得ex＞ax，

当x＝0时，1＞0恒成立，

当x＞0时，a恒成立，所以a，

当x＜0时，a恒成立，所以，

令h（x），h'（x），

所以h（x）在(﹣∞，0)，(0，1)上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，

h（1）＝e，

当x＜0时，h（x）＜0，

所以0≤a＜e，