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(14分)(理)在长方体ABCD—A1B1C1D1,中,AD=AA1=1,AB=2,点E在棱
AD上移动.
(1)证明:D1E⊥A1D;
(2)当E为AB的中点时,求点E到面ACD1的距离;
(3)AE等于何值时,二面角D1—EC—D的大小为

解法(一)
(1)证明:∵AE⊥平面AA1DD1,A1D⊥AD1,∴A1D⊥D1E
(2)设点E到面ACD1的距离为h,在△ACD1中,AC=CD1=,AD1=


(3)过D作DH⊥CE于H,连D1H、DE,则D1H⊥CE,
∴∠DHD1为二面角D1—EC—D的平面角.
设AE=x,则BE=2-x


解法(二):以D为坐标原点,直线DA,DC,DD1分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系
设AE=x,则A1(1,0,1),D1(0,0,1),E(1,x,0),A(1,0,0)C(0,2,0)
(1)
(2)因为E为AB的中点,则E(1,1,0),从而
,设平面ACD1的法向量为,则
也即,得,从而,所以点E到平面AD1C的距离为

(3)设平面D1EC的法向量,∴
 令b="1," ∴c=2,a=2-x,

依题意
(不合,舍去), .
∴AE=时,二面角D1—EC—D的大小为

解析

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