Question

【题目】如图，在四棱锥中， 底面，底面为直角梯形， ， ， ， 为的中点，平面交于点.

（1）求证： ；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析 （2）二面角的余弦值

【解析】试题分析：（1）先根据等腰三角形和已知推导出，从而，再由，得平面，由此证明；（2）以坐标原点， 为轴， 为轴， 为轴，建立空间直角坐标系分别求出平面与平面的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式能求二面角的余弦值.

试题解析：证明：（1）因为， 分别为， 的中点， ，所以.

因为，所以.

因为底面，所以.

因为，所以平面.

所以.

因为，所以平面

因为平面，所以.

（2）如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系.

则， ， ， ， .

由（1）可知， 平面，

所以平面的法向量为.

设平面的法向量为

因为， ，

所以即

令，则， ，

所以，所以

所以二面角的余弦值.

【方法点晴】本题主要考查利用空间向量求二面角、线面垂直的判定及性质，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.