Question

定义在R上的函数及二次函数满足：且.

（1）求和的解析式；

（2）对于，均有成立，求的取值范围；

（3）设，讨论方程的解的个数情况．

 

Answer 1

（1），；（2）的取值范围为；（3）有5个解.

【解析】

试题分析：（1）根据已知的函数方程，可以得到，联立已知条件的函数方程，即可解得，又由条件二次函数及，可设，再根据，可求得；（2）问题等价于求使，恒成立的的取值范围，即求当，

使成立的的取值范围，通过判断的单调性可知，其在上单调递增，因此只需，由（1）求得的二次函数的解析式，可得只需，即的取值范围为；（3）根据条件及（1），（2）所求得的解析式，可画出的示意图，根据示意图，可以得到方程即等价于或，再从示意图上可得：有2个解, 有个解，因此有个解.

试题解析：（1） ,①

即②

由①②联立解得:. 2分，

是二次函数, 且,可设,

由,解得.∴，

∴， 5分；

（2）设,

,

依题意知:当时,

,在上单调递减,

∴ 7分

∴在上单调递增,，∴

∴解得:，

∴实数的取值范围为. 10分；

由题意，可画出的示意图如图所示:

令,则

∴，由示意图可知：有2个解, 有个解.

∴有个解. 14分.

考点：1.函数解析式的求解；2.利用函数单调性求极值；3.方程根个数的判断.