Question

已知点（m，n）在曲线

x= 6 cosα y= 6 sinα

（α为参数）上，点（x，y）在曲线

x= 24 cosβ y= 24 sinβ

（β为参数）上，则mx+ny的最大值为（　　）

• A、12
• B、15
• C、24
• D、30

Answer 1

考点：圆的参数方程

专题：坐标系和参数方程

分析：第一步：将两参数方程化为普通方程，得到m与n，及x与y的关系式；
第二步：将以上得到的两个式子相乘，利用不等式的性质进行放缩，再探求mx+ny的最大值．

解答： 解：方程

x= 6 cosα y= 6 sinα

可化为x²+y²=6，由题意得m²+n²=6，
方程

x= 24 cosβ y= 24 sinβ

可化为x²+y²=24，
从而（x²+y²）（m²+n²）=（mx）²+（ny）²+（my）²+（nx）²
≥（mx）²+（ny）²+2my•nx=（mx+ny）²，
即6×24≥（mx+ny）²，得mx+ny≤|mx+ny|≤12，
所以mx+ny≤12，
当且仅当my=nx，mx+ny≥0时，mx+ny有最大值12．
故选：A．

点评：1．本题考查了参数方程化普通方程，及不等式性质的运用，属于参数方程与不等式的交汇题．
2．本题容易做错，如mx+ny≤

m2+x2

2

+

n2+y2

2

=

(x2+y2)+(m2+n2)

2

=

24+6

2

=15，从而误选B．错误原因在于上式等号不能成立，因为等号成立的条件是：m=x，n=y，联立m²+n²=6及x²+y²=24知，这4个式子不可能同时成立．