Question

如图，点A，B是单位圆O上的两点，点C是圆O与x轴正半轴的交点，将锐角α的终边OA按逆时针方向旋转

π

3

到OB．
（1）若A的坐标为（

3

5

，

4

5

），求点B的横坐标；                          
（2）求|BC|的取值范围．

Answer 1

考点：任意角的三角函数的定义,三角函数线

专题：三角函数的求值

分析：（1）利用三角函数的定义可得cosα=

3

5

，sinα=

4

5

，∠COB=α+

π

3

，利用两角和的余弦可求得cos（α+

π

3

）=

3-4 3

10

，从而可得点B的横坐标；
（2）先求|BC|²=2-2cos（α+

π

3

）的取值范围，再开方即可求得|BC|的取值范围．

解答： 解：（1）由于A的坐标为（

3

5

，

4

5

），由三角函数的定义知，cosα=

3

5

，sinα=

4

5

…2分
又∠COB=α+

π

3

，
∴cos（α+

π

3

）=cosαcos

π

3

-sinαsin

π

3

=

3-4 3

10

…5分
∴点B的横坐标为

3-4 3

10

…6分
（2）|BC|²=2-2cos（α+

π

3

）…9分
∵0＜α＜

π

2

，故

π

3

＜α+

π

3

＜

5π

6

，
∴cos（α+

π

3

）∈（-

3

2

，-

1

2

），
∴|BC|²∈（1，2+

3

），
∴|BC|∈（1，

6 - 2

2

）…12分

点评：本题考查任意角的三角函数的定义，突出考查两角和的余弦与余弦函数的性质，属于中档题．