Question

椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的两个焦点F₁、F₂，点P在椭圆C上，且PF₁⊥F₁F₂，|PF₁|=

4

3

，|PF₂|=

14

3

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l过圆（x+2）²+（y-1）²=5的圆心M交椭圆于A、B两点，且A、B关于点M对称，求直线l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由椭圆的定义，可得2a=6，a=3，再由勾股定理，即可得到c，再由a，b，c的关系，解得b，进而得到椭圆方程；
（2）设出直线l的方程，联立椭圆方程，消去y，得到x的方程，由中点坐标公式，即可得到k，检验判别式，即可得到直线方程．

解答： 解：（1）由于|PF₁|+|PF₂|=2a=

4

3

+

14

3

=6，则a=3，
由PF₁⊥F₁F₂，则|PF₂|²-|PF₁|²=|F₁F₂|²=（

14

3

）²-（

4

3

）²=20，
即有2c=2

5

，则c=

5

，b²=a²-c²=9-5=4，即b=2．
故椭圆C方程为：

x2

9

+

y2

4

=1；
（2）设A，B的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
由圆的方程（x+2）²+（y-1）²=5，可知圆心M为（-2，1），
可设直线l的方程为：y=k（x+2）+1，代入椭圆C的方程，可得，
（4+9k²）x²+（36k²+18k）x+36k²+36k-27=0，
由于A，B关于点M对称，则

x1+x2

2

=-

18k2+9k

4+9k2

=-2，解得k=

8

9

，
代入判别式△=（36k²+18k）²-4（4+9k²）（36k²+36k-27）＞0，则成立．
所以直线l的方程为y=

8

9

（x+2）+1，即8x-9y+25=0．

点评：本题考查椭圆的定义吧、方程和性质，考查联立直线方程和椭圆方程，消去未知数，运用韦达定理，以及中点坐标公式，注意不要忘记判别式的检验，属于中档题和易错题．